Un problème de seuil - Exercice résolu

Jérémy place le 1 ^er janvier 2024 un capital de 3 500 € à intérêts simples au taux de 1,5 % par mois. Cela signifie que, chaque début de mois, son capital est augmenté de 1,5 % du capital initial.

1. Calculer le montant du capital de Jérémy au 1 ^er février 2024.

2. Pour tout entier naturel `n` , on note `u_n` le capital de Jérémy `n` mois après le 1 ^er janvier 2024.

    a. Justifier que la suite `(u_n)` est une suite arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.

    b. Jérémy souhaite utiliser ce capital pour s'acheter un scooter électrique qui coûte \(4~150\)  €. En résolvant une inéquation, déterminer à partir de quelle date Jérémy pourra acheter ce scooter.

Solution

1.  \(\dfrac{1{,}5}{100}\times 3~500=52{,}5\)  et  \(3~500+52{,}5=3~552{,}5\) .

Le montant du capital de Jérémy s'élève donc à  \(3~552{,}50\)  € au 1 ^er février 2024.

2. a. Chaque mois, le capital est augmenté de  \(1{,}5\)  % du capital de départ donc de  \(52{,}50\)  €. Pour tout entier naturel  `n` , on a donc  \(u_{n+1}=u_n+52{,}5\)  ce qui signifie que la suite  `(u_n)`  est une suite arithmétique de raison  \(r=52{,}5\)  et de premier terme  \(u_0=3~500\) .

    b. Pour tout entier naturel  `n` , on a donc  `u_n=u_0+nr`  soit  \(u_n=3~500+52{,}5n\) . On cherche la plus petite valeur de  `n`  telle que  \(u_n \geqslant 4~150\)  :         

\(u_n \geqslant 4~150 \iff 3~500+52{,}5n \geqslant 4~150 \iff 52{,}5n \geqslant 650 \iff n \geqslant \dfrac{650}{52{,}5}\)

Or  \(\dfrac{650}{52{,}5} \approx 12{,}4\)  donc le montant du capital de Jérémy sera supérieur ou égal à \(4~150\) € treize mois après le 1 ^er janvier 2024.

Jérémy pourra donc acheter son scooter à partir du 1 ^er février 2025.